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Mengenlehre

Die Mengenlehre ist ein Teilgebiet der Mathematik, welches sich mit den Eigenschaften von Mengen beschäftigt. Sie ist die Grundlage der modernen Mathematik und bietet ein einheitliches Grundgerüst für zahlreiche Disziplinen wie Algebra, Analysis, Stochastik oder Topologie. Darüber hinaus ist sie von zentraler Bedeutung für die Aussagenlogik.

Inhaltsverzeichnis

Geschichte

Die Mengenlehre geht zurück auf Georg Cantor. Nach seiner Definition ist eine Menge "eine Zusammenfassung von bestimmten wohl unterschiedenen Objekten der Anschauung oder des Denkens, welche die Elemente der Menge genannt werden, zu einem Ganzen". Die von Cantor eingeführte naive Mengenlehre führte jedoch schon bald zu unlösbaren Widersprüchen (Russellsche Antinomie).

Die axiomatische Mengenlehre (Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre) verzichtet deshalb auf eine Definition der Menge und benutzt ihn als Grundbegriff. Eine Menge wird durch die Angabe aller Elemente bzw. ihrer Grundeigenschaften festgelegt. Die einzige Grundrelation ist $\in$ (gesprochen Element von), z.B. x $\in$ M, wenn x als Element in M enthalten ist. In vielen Artikeln dieser Enzyklopädie verwenden wir die Schreibweise "x in M" oder "x aus M", manchmal auch das HTML-Zeichen ∈, welches jedoch von manchen Browsern nicht korrekt dargestellt wird.

Eine alternative Mengentheorie kann man aufbauend auf der Kategorientheorie mit Hilfe von Topoi definieren.

Neue Mathematik

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Schnittmenge: Die Menge aller roten Figuren geschnitten mit der Menge aller Kreise ergibt die roten Kreise

In den 1970er Jahren wurde die Mengenlehre in die Grundschulen eingeführt, nach wenigen Jahren aber zugunsten des traditionellen Rechenunterrichts wieder abgeschafft. Siehe dazu den Artikel "Neue Mathematik".

Zum besseren Verständnis der Mengenlehre werden sog. Venn-Diagramme (bzw. Mengendiagramme) benutzt.

Definitionen

Seien beliebige Teilmengen der Menge $\mathbb{X}$ .

Teilmenge (Inklusion, Obermenge): ${A} \subseteq {B}$ (A ist Teilmenge von B, oder auch B ist Obermenge von A), wenn jedes Element von A auch Element von B ist, d.h. A ist enthalten in oder gleich B. In Prädikatenlogik: ${A}\subseteq {B} :\Longleftrightarrow\forall x \in {\mathbb{X}}: \left( \left( {x} \in A \right) \Rightarrow \left( {x \in B } \right) \right)$ .

Echte Teilmenge: ${A} \subset {B}$ (A ist echte Teilmenge von B oder B ist echte Obermenge von A), wenn die Menge A enthalten in B, aber ungleich B ist: ${A} \subset {B} :\Longleftrightarrow \left({A}\subseteq {B}\right) \wedge \left({A}\neq {B}\right)$

Schnittmenge: ${A}\cap{B} := \{ x \in \mathbb{X} \mid \left( x \in {A} \right) \and \left( x \in {B} \right) \}$ (A geschnitten mit B) ist die Menge aller Elemente, die sowohl in A als auch in B enthalten sind.

Vereinigungsmenge: ${A}\cup {B} := \{ x \in \mathbb{X} \mid \left( x \in {A} \right) \or \left( x \in {B} \right) \}$ (A vereinigt mit B) ist die Menge der Elemente, die in A oder in B oder beiden Mengen liegen.

Komplement: $\complement{A}:=\{ x \in \mathbb{X} \mid x \not\in A \}$ bezeichnet das Komplement von in $\mathbb{X}$ , das ist die Menge aller Elemente von $\mathbb{X}$ , die nicht in A liegen.

Differenzmenge: ${A} \setminus {B} = \{ x \in \mathbb{X} \mid \left( x\in A \right) \and \left( x\not\in B \right) \}$ (A ohne B) ist die Menge aller Elemente, die in A enthalten sind, aber nicht in B

symmetrische Differenz: ${A} \, \triangle \, {B} := \left( A \setminus B \right) \cup \left( B \setminus A \right)$ ist die Menge aller Elemente, die in einer aber nicht in beiden der gegebenen Mengen liegen

Mächtigkeit: $\left| A \right|$ bezeichnet die Mächtigkeit (auch Kardinalität) der Menge , also die Anzahl der Elemente von . Für eine endliche Menge ist die Mächtigkeit eine natürliche Zahl; bei unendlichen Mengen unterscheidet man nach verschiedenen Graden der Unendlichkeit.

Leere Menge: Die leere Menge enthält kein Element und wird mit $\emptyset$ oder auch bezeichnet.

Potenzmenge: Die Potenzmenge $\mathcal{P} \left( {A} \right)$ ist die Menge aller Teilmengen von .

Anmerkungen

Die Symbole für Teilmenge und echte Teilmenge wurden in Anlehnung an die Zeichen und $\leq$ gewählt. Diese Bezeichnung ist aber nicht immer einheitlich: In manchen Texten ist bei dem Zeichen $\subset$ auch die Gleichheit der beiden Mengen zugelassen. In diesem Fall ist für die Auszeichnung einer echten Teilmenge etwa das Symbol ${B} \subsetneq {A}$ gebräuchlich.

Für die Bezeichnung des Komplements einer Menge gibt es einige Varianten: Es wird gelegentlich auch durch $\overline{A}$ , oder symbolisiert.

Die Potenzmenge einer Menge wird mitunter auch mit bezeichnet.

$\in$ , $\subset$ und $\subseteq$ sind Relationen. Die Negation dieser Relationen kann durch das durchgestrichene jeweilige Relationssymbol bezeichnet werden, also zum Beispiel durch $\notin$ . Außerdem ist es möglich, die Reihenfolge der beiden Argumente zu vertauschen, wenn dabei auch das Relationssymbol umgedreht wird. So kann also anstelle von $x\in A$ auch $A\ni x$ , anstelle von $A\subseteq B$ auch $B\supseteq A$ und anstelle von $A\subset B$ auch $B\supset A$ geschrieben werden. Auch ein gleichzeitiges Durchstreichen und Umdrehen dieser Relationssymbole ist denkbar.

Die leere Menge ist Teilmenge jeder beliebigen Menge. Deshalb tritt sie als Element jeder Potenzmenge auf; jede Potenzmenge umfasst mindestens dieses eine Element.

Die leere Menge kann – wie jede andere Menge auch – Element einer Menge sein: Die beiden Mengen $\emptyset$ und $\{\emptyset\}$ sind verschieden.

siehe auch: Fehlmenge, Nichtmenge, Obermenge

Beispiele

Wir betrachten die Mengen $\mathbb{X} = \{1,2,3\}$ , und . Es gelten:

$2\in A$ , $2\notin B$
$A\subseteq\mathbb{X}$ , $B\subseteq\mathbb{X}$ , $\mathbb{X}\subseteq\mathbb{X}$
$A\subset\mathbb{X}$ , $B\subset\mathbb{X}$
$A\cap B = \{1\}$
$A\cup B = \mathbb{X}$
$\complement{A} = \{3\}$ , $\complement{B} = \{2\}$ , $\complement{\mathbb{X}}=\emptyset$ , $\complement{\emptyset}=\mathbb{X}$
$A\setminus B = \{2\}$ , $B\setminus A = \{3\}$ , $\mathbb{X}\setminus A = \{3\}$ , $A\setminus\mathbb{X} = \emptyset$
$A\triangle B = \{2,3\}$ , $A\triangle\mathbb{X} = \{3\}$ , $B\triangle\mathbb{X} = \{2\}$
$\left| \mathbb{X}\right|$ = 3, $\left| A\right|$ = 2, $\left|\emptyset\right|$ = 0, $\left|\{\emptyset\}\right|$ = 1
$\mathcal{P} \left(A\right) = \{\emptyset,\{1\},\{2\},\{1,2\}\}$
$\mathcal{P} \left(\mathbb{X}\right) = \{\emptyset, A\cap B, \complement B, B\setminus A, A, B, A\triangle B, A \cup B\}$
$\emptyset\notin\emptyset$ , $\emptyset\in\{\emptyset\}$
$\mathcal{P} \left(\emptyset\right) = \{\emptyset\}$ , $\mathcal{P} \left(\{\emptyset\}\right) = \{\emptyset,\{\emptyset\}\}$
$\mathbb{N}^+\subset \mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R} \subset \mathbb{C}$

Gesetzmäßigkeiten

Die Menge $\mathcal{P}\left(\mathbb{X}\right)$ ist bezüglich der Relation $\subseteq$ partiell geordnet, denn für alle $A,B,C\subseteq\mathbb{X}$ gilt:

Reflexivität: $A\subseteq A$

Antisymmetrie: Aus $A\subseteq B$ und $B\subseteq A$ folgt

Transitivität: Aus $A\subseteq B$ und $B\subseteq C$ folgt $A\subseteq C$

Die Mengen-Operationen Schnitt $\cap$ und Vereinigung $\cup$ sind zueinander kommutativ, assoziativ und distributiv:

Kommutativgesetz: $A \cup B = B \cup A$ , $A \cap B = B \cap A$

Assoziativgesetz: $\left( A \cup B \right) \cup C = A \cup \left( B \cup C \right)$ , $\left( A \cap B \right) \cap C = A \cap \left( B \cap C \right)$

Distributivgesetz: $A \cup \left( B \cap C \right) = \left( A \cup B \right) \cap \left( A \cup C \right)$ , $A \cap \left( B \cup C \right) = \left( A \cap B \right) \cup \left( A \cap C \right)$

De Morgansche Gesetze: $\complement( A \cup B) = \complement{A} \cap \complement{B}$ , $\complement{(A \cap B)} = \complement{A} \cup \complement{B}$

Für die Differenzmenge gelten folgende Gesetzmäßigkeiten:

Distributivgesetze: $(A \cap B) \setminus C = (A \setminus C) \cap (B \setminus C) \quad (A \cup B) \setminus C = (A \setminus C) \cup (B \setminus C) \quad A \setminus (B \cap C) = (A \setminus B) \cup (A \setminus C) \quad A \setminus (B \cup C) = (A \setminus B) \cap (A \setminus C)$